读史使人明智，读诗使人灵秀，数学使人周密，科学使人深刻，伦理学使人庄重，逻辑修辞使人善辩，凡有所学，皆成性格。
——培根
坤鹏论随着不断展开的多学科学习，终于开始触摸以前最不愿意多看的数学。
硬着头皮啃了一段时间，深刻地感受到了数学之美，以及不懂点数学的愚昧。
比如：有人用数学公式告诉你，投1万进股市，一年时间内变成100万，而且随便你演算，结果真的是这样。
但是，投1万进股市，还有可能最终变成了1块9毛5，你信也不信？
并且，同样有数学公式为证！
这就是数学的奥妙，不同的计算公式，都不存在半点虚假和浮夸，真就能出现如此天壤之别的差距。
这不禁让坤鹏论想起一位朋友曾抱怨的事，他的父亲炒股，十几万炒着炒着就剩几千块了。
原来不甚理解，因为就算频繁交易会产生出乎意料的手续费和税费，但怎么会亏得如此之惨呢！
自从看了几本数学家写的股市相关图书后，比如：《财富公式》、《数学家妙谈股市》等（感谢数学家，以下有的实例就来自他们），坤鹏论的脑洞算是又打开了新的天地，虽然因为数学功底不够好，但依然震撼不已。
今天，就让坤鹏论带大家一起寻找上面这些现实的数学答案吧！
一、从圣彼得堡赌注谈起
Long long ago，18世纪，故事发生在那个令人胆颤的瑞士数学家族——伯努利家族。
每每聊起这个家族，坤鹏论总有种目眩神迷的感觉，因为它堪称有史以来的科学界神话，三代人中出了8位科学家，出类拔萃的至少有3位；而在他们一代又一代的众多子孙中，至少有一半相继成为杰出人物。
伯努利家族的后裔有不少于120位被人们系统地追溯过，他们在数学、科学、技术、工程乃至法律、管理、文学、艺术等方面享有名望，有的甚至声名显赫。
最不可思议的是这个家族中有两代人，他们中的大多数是数学家，而且，人家还都不是有意选择数学为职业，完全是一见钟情般地沉溺于数学，有人调侃他们就像酒鬼碰到了烈酒。
这才是实至名归的外星人家族！
话说在这个家族中有个叫丹尼尔·伯努利的小伙，他的叔叔就是鼎鼎大名的、发现大数法则的雅各布·伯努利，而他的父亲叫约翰·伯努利。
其实，约翰和雅各布一样聪明，而且两个人都喜欢吹牛，就像雅各布觉得自己和牛顿不相上下一样，约翰也坚持认为自己不比哥哥雅各布差。
这简直就是瑞士版的既生瑜何生亮！
两兄弟经常会对一个问题进行竞争性地研究，俗称学术掐架，并且还在媒体上无情地攻击对方，让全天下围观。
因为实在无法超越雅各布，约翰的怨恨越积越深，心态扭曲，最后甚至发泄到了他的儿子丹尼尔身上。
丹尼尔也是一位数学家，同时还精通物理学，他曾出过一本很著名的书，对赌场的法罗牌游戏进行分析，发现了“伯努利效应”，后来被运用到了飞机机翼的设计中。
1734年，约翰和丹尼尔共同分享了一项法国科学院奖，对于和儿子一起获奖，约翰的颜面实在无光，他认为这个奖项是自己独得才对。
恼怒之下，丹尼尔被赶出家门。
来自约翰老爸的妒嫉还有个实例，1738年，丹尼尔出了一部关于流体力学的书，结果第二年，他父亲也出了一本内容几乎完全相同的书，不仅署了自己的名字，还把时间改到了1732年，然后公开声称儿子剽窃了老子的作品。
摊上这样的父亲，丹尼尔郁闷至极，不得不跑到遥远的圣彼得堡工作，眼不见为净。
在那里，他为西化的俄罗斯法庭工作，并写了一篇对后世经济学以及投资影响深远的文章。
这篇文章提到了一个虚拟的赌注，它是由另外一名伯努利家族的天才、丹尼尔的表兄尼古拉斯设计的。
这个赌注涉及到一个翻倍的掷硬币游戏：
假设掷出正面为成功，游戏者如果第一次投掷成功，得奖金2元，游戏结束；
第一次如果不成功，无任何代价，继续投掷，第二次成功得奖金4元，游戏结束；
这样，游戏者如果投掷不成功就反复继续投掷，直到成功，游戏结束。
如果第n次投掷成功，得奖金 2^n元（2的n次方），游戏结束。
举个实际的例子更好理解：
假设你出1元钱参加这游戏。
第1次掷出正面，你得2元奖金，游戏结束，你净赚1元，收益率100%；
但是，你前9次掷出的都是反面，第10次才掷出正面，奖金是2的10次方，即1024元，你净赚1023元，收益率102300%；
如果你幸运地在前19次掷出的都是反面，第20次才掷出正面，恭喜你发了笔小财，奖金104万8576元；
如果你足够足够足够幸运，前49次掷出都是反面，第50次掷出正面……
奖金超过112万亿！
注意是万亿！
地球首富非你莫属！
你可能认为，这么好玩的游戏别说拿1元参与，1000元也值！
好吧，我们就来看看花1000元参与会发生什么：
第1次掷出正面，你获得2元奖金，亏损998元，收益率-99.8%，游戏结束！
其他情况，第2、3、4、5、6、7、8、9次掷出正面，奖金分别是4、8、16、32、64、128、256、512，游戏结束。
以上9种情况（包含第1次掷出正面），相当于你1000元的参与费，但都会以亏损结束，而出现上述任意一种情况的概率之和超99.8%，也就是说你付出1000元参与，最后能赚钱的概率不到0.002%。
这个游戏看似潜在的收益无穷（期望值正无穷大，关于期望值是啥，老铁往下看），实际上只是个极小概率暴富的游戏，小得都不值得你去计算。
首先，你付太多参与费，连保本都艰难，所以你只能不停地试，那么就得有足够多的赌本；
其次，现实中也没有人能够出得起这么高的奖金。
丹尼尔在他的文章中这样写道：
“虽然标准计算显示期望值可以无穷大，但是，我们要承认任何足够理性的人都会很高兴地以20达卡（注：货币名称）的价格把这个机会卖掉。事实上，虽然人们认可这个计算方式的结果，赢的机会无穷大，但是没有人会愿意出高价来购买。”
丹尼尔用俄语发表了他的文章，这个赌注就被叫作“圣彼得堡赌注”或“圣彼得堡悖论”。
有人说，这个赌博游戏是圣彼得堡那嘎达人玩的，是大错特错！
丹尼尔由“圣彼得堡悖论”引发的思考与成果，对于后世经济学贡献极大，凯恩斯在1921年发表的《概率论》中提到，它是每一位20世纪经济学的精神大厦的组成部分。
都有哪些贡献呢？让坤鹏论来数一数。
1.效用
相信在现实中，没有谁拥有无限的财富，所以圣彼得堡赌注这样的游戏不可能出现。
但是，哲学家、数学家、经济学家中就有较真儿的人，要不怎么说，只有偏执狂才能成功，他们认为，可以假定有人拥有无限财富，而且愿意玩这个游戏。
丹尼尔也认为会有这样的人，他提出了另外一个解释，对于未来的经济学思想影响深远，他把钱和人们赋予钱的价值分开。
对于亿万富翁来说，1000美元就像零花钱，而对于乞丐，1000美元则是一笔不小的财富。
所以，获利（或损失）的价值取决于这个人本身已有的资产是多少。
丹尼尔真正的贡献就在于他因此而创造了一个词汇，在英文中这个词被译为“utility”，中文意思为“效用”。
它可以用来描述人们赋予钱的主观价值。
丹尼尔称，人们本能地会选择争取最大的效用，而不一定是最多数目的钱。
大多数情况下，富人心目中的1000美元的价值要低于穷人心目中对这笔钱的价值认定。
“任何财富的小幅度增长所带来的效用和之前拥有的财物数量成反比。”
比如：你朋友的财富是你的两倍，那么他赢了100元后，其喜悦可能只有你的一半。
同理，当他丢了100元后，其心疼度也只有你的一半。
再比如：当你在赌场赢了100万后，第二次再赢100万的话，你的欣喜只有第一次的一半。
2.算出每个人的幸福值
这里先普及一个数学期望的概念。
17世纪，有个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道难题：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，一共进行五局，赢家可以获得100法郎的奖励。
当比赛进行到第四局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？
用概率论的知识，不难得知，甲获胜的可能性大，乙获胜的可能性小。
因为，甲输掉后两局的可能性只有(1/2)×(1/2）=1/4，也就是说甲赢得后两局的概率为1－(1/4)=3/4，甲有75%的期望获得100法郎；
而乙期望赢得100法郎就得在后两局均击败甲，乙连续赢得后两局的概率为(1/2)*(1/2)=1/4，即乙有25%的期望获得100法郎奖金。
可见，虽然不能再进行比赛，但依据上述可能性推断，甲乙双方最终胜利的客观期望分别为75%和25%，因此甲应分得奖金的100*75%=75(法郎)，乙应分得奖金的的100×25%=25(法郎)。
这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。
有老铁看这故事有点眼熟，是的，之前坤鹏论曾在《为什么赌场可以永远赢 为什么十赌九输》讲过，那里面的故事算是正史，而这里的是后人演绎过的，但坤鹏论觉得更好理解些。
在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。
它反映随机变量平均取值的大小。
需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等，期望值是该变量输出值的平均数，期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。
既然丹尼尔发现了“任何财富的小幅度增长所带来的效用和之前拥有的财物数量成反比”，那么只要知道拥有的财物数量，就可以算出多少财富的增长能带来多少的效用，其实就是算出一个人的数学期望值。
另外，需要注意的是，效用会随着财富增长而呈现逐渐缩小的趋势。
如果画一张效用和财富的关系图，呈现的是如下面那样的曲线图，而该图表现出了对数功能，所以伯努利的这个发现也被称为对数效用，同样，也是一个迷死后世不少科学家的东东。
不过，后来也有人认为，这个对数效用从心理学角度看来，是不现实的，尤其是处于极端富有的情况下。
所以，要给效用设置个上限，被称为“幸福水平”，也就是算一下你需要多少钱可以满足你所有物质需求或欲望，那些钱，或相应的效用，就是幸福水平。
但是，坤鹏论认为，这一样不合理，因为老话说了：人的欲望无止境，总是这山望着那山高。
二、投资要用几何平均数衡量
1738年，丹尼尔用俄语写了一篇名为《有关衡量风险的新理论说明》的论文。
论文中并没有过多讲述圣彼得堡赌注或效用等问题，甚至它们都只在附加部分被提了一下，该论文主要讨论的是风险投资应该由几何平均数的结果来衡量。
上学的时候，我们其实都知道有两种平均数。
算术平均数：比较平淡的那一种，把数字都累加起来，然后除以它们的总数，就能得到算术平均数。
几何平均数：大多数人在中学毕业后就把它又交还给老师了，它的计算方法是将一系列（n）的数字相乘，然后计算这个数字的n次方根。
现实中，大多数人都会尽量避免计算n次方根，无它，麻烦！
所以几何平均数一般都是统计学家们在使用。
不管是算术平均数还是几何平均数，它们的意义在于使生活简单化，特别是数据量非常大的时候，我们只要记得一个平均数就能对某件事进行直观地权衡，比如：某个篮球运动员的投球命中率，一个算术平均数就会对其能力阐述得很清楚，而且几个球员的平均数放在一起，一眼就能分出高下。
那什么时候需要计算几何平均数呢？
丹尼尔从赌博开始谈起，如果用算术平均数来计算赌注的期望值，考虑两种出现概率相同的结果，“公平”的赌注，其最终得数应当为零，比如：把10万元赌注下到抛起的硬币，和你旁边的人赌正反面，他下的赌注和你一样多，最终结果无非是你得到两倍的赌资——20万元，或者你变得一无所有。
用算术平均数来计算期望值的话，应该是（20万+0万）/2=10万，这样话，这个赌注是没有意义的，你现在已经有了10万，硬币抛出后，你或许再拿一个10万，或者损失10万。
从风险的角度看，赢得两倍的资产和变得一无所有相比，变得一无所有会让你损失更大。
咱们再用几何平均数的方式来计算一下赌注的期望值，将两个同时存在的可能数值相乘÷20万元×0元，然后计算平方根。
因为零和任何数相乘其结果都为零，所以几何平均值得出的是零，这就是赌注真正价值，所以你不应该将10万元的净资产投在这上面。
几何平均值一般都会小于算术平均值，只有当所有数值都相等，两个平均数才会相等，这就说明，在评估风险问题时，几何平均数要更为保守一些。
丹尼尔相信这种保守主义更符合人们对风险的排斥态度。
由于在风险投资中，几何平均数总是小于算术平均数，“公平的”赌注事实上是不受欢迎的，丹尼尔认为，这是“自然的警告，让人们远离赌博。”
在他看来，只有当优势偏向于某一个人的时候，这样的赌注才有意义，或者是参赌的人之间财富实力不同，赌注才有价值。
丹尼尔在其论文中提到了一位圣彼得堡商人，他搞的是国际贸易，通过海上运输进货，这其实也是一种赌博行为，因为船有沉没的风险，商人就要面临是否购买保险的选择。
如果通过算术平均数计算，保险不是很理想的赌注，但是，如果这名商人的财富实力不强，他就应该通过购买保险来提高自己的几何平均值，即使保金的价格很高。
丹尼尔认为，理智的人会争取最大化的几何平均数，虽然他们自己可能并没有意识到这一点。
“因为我们所有的假设都会以我们的经验为依据，我们不能抛开经验，而仅仅凭我们的猜测来行事。”
丹尼尔倡导的几何平均数和后来约翰·凯利的凯利公式有着密切联系，甚至可以把凯利的解决方案看作是丹尼尔这个简单定律的重述：
当我们面临下赌注或投资的选择时，应该选择那个几何平均数最高的。
当然，丹尼尔的结论明显比计算赌博“优势/概率”的凯利公式应用范围更为广泛。
那么，凯利是不是剽窃了丹尼尔的成果呢？
这个很难确定，但可以肯定的是，丹尼尔的这篇论文直到1954年1月，才被翻译成英文在《计量经济学》中发表。
而且，凯利也没有提到过丹尼尔，同时他是一名通讯方面的科学家，读过《计量经济学》的可能性也不大。
另外，丹尼尔的功劳还在于开辟了投资组合的新思路，与如火如荼的马科维茨的现代投资组合理论相比，算是另一条蹊径，20世纪一位美国学者对此进行了继承，这是后话，坤鹏论未来会详细讲一讲。
三、投1万为什么最后可能剩1.95元
首先我们要了解两个算收益率的数学公式，这是后面内容的基础，不要担心，很简单。
假设有N个不同的收益率：
算术平均数的平均收益率：N个不同收益率的总和除以N。
几何平均数的平均收益率：[(1+第一个收益率)]×(1+第二个收益率)×(1+第三个收益率)×……×(1+第N个收益率)]，然后求这个乘积的N次方根减去1。
还是以实例进行讲解。
假设有这样一个投资计划，每周一早上购买一只股票并且在同一周的周五下午将其售出。
在这一周大约一半的时间内你会获得80%的收益率，在其他一半的时间里，你则会亏损60%。
注意：赚和亏的时间不确定，不管周五是亏还是赚，都要卖出。
先请算术平均数上阵：[80%+(-60%)]/2=10%。
每周获得10%的收益率，那相当相当厉害，在复利的强大加持下，一年以后，你最初投入的1万元将会变得比140万还多。
二请几何平均数前来：[(1+80%)×(1-60%)]，用乘积的平方根减去1，也就是(1.8×0.4)的平方根减1，最后得-0.15。
这说明，每周你会损失大约你投资额的15%，同样相当相当厉害，在负复利的强大加持下，一年以后，你的1万块，变成了1.95元。
聪明的老铁可能已经意识到，在一年的26周中，投资会上涨80%，而在另外26周，则会下跌60%。
如果采取同样的策略，遇到只剩1.95元这样结果的投资者会有一多半。
为了计算方便，扣除了每次交易所产生的税费和手续费，如果加上它们，可能不用一年，你的钱就所剩无几了。
怎么会有如此巨大的差距呢？
并且反复观瞧，再三演算，两个数学公式都没有任何错误。
让我们继续探究，见微知著，只看看在最初的两周里，这1万元到底发生了什么。
总共存在以下4种可能：
可能1：两周内都获利
投资者获得1.8×1.8的获利，也就是3.24倍，1万元变成了32400元。
可能2：第一周获利，第二周亏损
投资者的资金发生了1.8×0.4的变化，也就是0.72倍，1万元变成了7200元。
可能3：第一周亏损，第二周获利
这个和上面的情况相同，也就是0.4×1.8，1万元变7200元。
可能4：两周都亏损
这个最惨，0.4×0.4=0.16，1万剩下了1600元。
把四个结果相加，然后除以4，得到的结果是12100元，也就是这1万元在两周后可能得到的平均价值。
这其实也是以每周10%的速度获得收益的结果，1万×1.1×1.1=12100元。
那么，52周后，1万×(1.10)⁵²，用excel算一下，1420000元！
但是，最有可能的结果是，这家公司的股价会在26个星期内上涨，在另外26个星期里下跌。
计算公式就是：1万×1.8²⁶×0.4²⁶，结果1.95元！
用几何平均数也会得到同样的结果：1万×(1-0.15)⁵²=1.95！
通过上面这一通劈里啪啦的计算后，我们可以得到一个结论：
收益率的算术平均数远远超过了收益率的几何平均数。
而几何平均数才是最有可能的收益，也就是中间位置的收益，在数学中被称为中位数。
再简单举个更极端的例子。
一年时间里，你的投资在一半时间里每周翻一倍，另外一半时间里每周亏一半。
答案：一年后，最有可能的结果是不亏也不赚。
但是，用算术平均数一算，你每周获利可以高达25%——[100%+(-50%)]/2，这意味着一年后，1万×1.25⁵²，天！比10亿还多！
而用几何平均数核算则为：[(1+1)×(1-0.5)]的平方根再减去1，收益率为0。
当然，以上的例子估计百年也不遇，属于相当极端不现实的。
但是，它们却让我们直接颠覆了直觉，解释了为什么大多数投资者获得的回报比一般水平更加糟糕，为什么一些基金公司只宣传他们的平均收益率，而它是直接采用的是算术平均数。
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